Se suele hacer coincidir el comienzo del álgebra moderna con la resolución de la ecuación cúbica (y cuártica también) en el Ars Magna escrita por Jerónimo Cardano (1501-1576). Sin embargo, hay que advertir inmediatamente que el descubridor original de dicha solución no era el autor, sino Niccolo Tartaglia (1500-1557), pese a que Cardano le había jurado solemnemente no desvelar el secreto pues Tartaglia esperaba publicar el resultado como culminación de su propio tratado de álgebra que estaba elaborando.
Para evitar sentir una compasión excesiva por Tartaglia, hagamos notar que éste ya había publicado una traducción de Arquímedes, dejando la impresión de que el contenido era suyo propio, y más tarde, en su obra Quesiti et inventioni diverse proporciona la ley del plano inclinado obtenida a partir del trabajo anterior de Jordano Nemorario, pero sin atribuirla adecuadamente a su verdadero descubridor. De hecho, es posible que el mismo Tartaglia hallase la pista de la resolución de la ecuación cúbica de alguna fuente anterior, probablemente de un profesor de matemáticas de la universidad de Bolonia casi totalmente olvidado, Scipione del Ferro.
Tartaglia era conocido mediante ese apodo (“tartamudo”) en vez de su apellido original Fontana, al haber recibido un sablazo por un soldado francés en el sitio de Brescia (1512) lo cual le impedía hablar correctamente. A pesar de ser un excelente matemático, tuvo grandes dificultades económicas a lo largo de toda su vida. En cambio, Cardano, personaje egocéntrico, contradictorio y típicamente renacentista, disfrutó de una gran fama como médico, filósofo y escritor, estando bien considerado socialmente a pesar de ser un jugador empedernido, astrólogo y hasta hereje. Todo ello no fue óbice para que se convirtiera en un respetado profesor en Bolonia y en Milán, recibiendo incluso una pensión del Papa. Sin embargo, fue literalmente víctima de su propio éxito, pues al haber vaticinado el día de su muerte y llegar éste, no tuvo más remedio que suicidarse para no decepcionar a sus seguidores. Pese a todo, Cardano fue uno de los mejores algebristas de su época, fiel seguidor de Al-Khowarizmi. Como este último, razonaba utilizando casos concretos y empleando un razonamiento geométrico; así, cuando escribe “Sea el cubo y seis veces el lado igual a 20” (en notación moderna: x^3+6x=20) está en realidad pensando en esta ecuación como típica de la forma x^3+px=q.
La solución de las ecuaciones cúbica y cuártica fue probablemente la mayor aportación al álgebra desde que los babilonios habían aprendido, casi cuatro milenios antes, a completar un cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas. Las soluciones no tenían en realidad aplicación práctica alguna, pero las fórmulas de Tartaglia-Cardano tuvieron la virtud de estimular el desarrollo del álgebra, con un papel ciertamente relevante en el desarrollo posterior de los números complejos. En efecto, fue Rafael Bombelli (1526-1573), formado en la lectura del Ars Magna de Cardano, quien tuvo una “idea loca” (tal y como él mismo la denominó) al resolver una ecuación cúbica irreducible (con las tres raíces reales), consistente en utilizar en un paso intermedio lo que ahora denominamos números complejo-conjugados.
Por último, citemos a François Viète (1540-1603), quien junto con los algebristas italianos, es la figura cumbre del álgebra renacentista, dando el paso definitivo al utilizar letras para designar simbólicamente a las variables, distinguiendo las incógnitas (mediante vocales) de los parámetros o constantes (mediante consonantes).